Chi-cuadrada

Desarrollo del Tema

• Chi-cuadrada (χ²)
  
  
  La letra griega χ se transcribe al latín como chi y se pronuncia en castellano como ji.
  
  
  ¿Cómo se define la variable?
  Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria: 
  X= Z1²+…+Zk²
  donde Z_i son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno.
  El que la variable aleatoria X tenga esta distribución se representa habitualmente así:
  X ~ Xk²
  Una variable Chi cuadrada se define como la suma de n variables normales estandarizadas elevadas al cuadrado.
  Algunas de sus características:
  • La distribución es asimétrica positiva.   
  •  A medida que aumenta el tamaño de la muestra la curva es menos asimétrica, aproximándose a una curva normal.
  • Para cada tamaño muestral, se tendrá una distribución χ2 diferente.
  • El parámetro que caracteriza a una distribución χ2 son sus grados de libertad (n-1), originado una distribución para cada grado de libertad. 
  
   
  ¿Quien la descubrió?
  Karl Pearson (1857 – 1936)
  A Karl Pearson se debe el estadístico ji-cuadrado, introducido en 1900.
   
  ¿Cómo se calcula su media y su varianza?
  El parámetro de la distribución X² es n y su media y su varianza son: 

         ¿Cómo se calcula su función generadora de momentos?

        ¿Cómo se calcula su función de densidad?

        La Distribución chi-cuadrada, tiene por función de densidad

Donde el parámetro k de X²k, se denomina grados de libertad de la distribución.

La Distribución chi-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se puede ver en la figura.

Téngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la función de densidad para x = 0, se hace infinito:

 

 

Para el resto de los valores de k, para x = 0, la función vale 0.

 

 

 La Distribución de probabilidad de esta función para valores menores de un x dado, que representamos por

                                                                               donde:

Esta integral no tiene una solución conocida, y solo se conocen métodos numéricos para calcular sus valores, hay distintos tipos de tablas y algoritmos para ordenador con los que se pueden calcular sus soluciones, veamos una tabla distribución chi-cuadrado y su modo de utilización.

¿Cómo se calcula su función de distribución acumulada?

Su función de distribución es:

                                                                               donde:

                                                              es la función gamma incompleta.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.